พลังงานและข้อมูล (Energy and Information) -

เกรินนำ(Prelude)

สวัสดีครับ อันนี้เป็นบทความแรกของกลุ่ม QuTE นะครับ ซึ่งตัวผู้เขียนเลือกที่จะเขียนความสัมพันธ์ระหว่าง พลังงานและข้อมูล ความน่าสนใจของ 2 ปริมาณนี้คือในตอนแรกดูเหมือนจะไม่มีความสัมพันธ์กันได้เลย แต่หากเมื่อเราเจาะลึกศึกษาลงไปกลับพบความสัมพันธ์อันลึกซึ้งที่น่าจะสนใจระหว่าง 2 ปริมาณ ดังคำพูดของ Jim AI-Khalili ในสารคดีของ BBC เรื่อง Order and Disorder ที่ว่า “….หากว่าเราสามารถสร้างเครื่องจักรปีศาจของแมกซ์เวลล์ที่ต้มกาแฟหรือแม้แต่ป้อนพลังงานให้เมืองโดยอาศัยแค่ข้อมูล….”

รูปที่ 1 ภาพตัดมาจากสารคดีของ BBC เรื่อง Order and Disorder ซึ่ง Jim AI-Khalili กำลังอธิบายเกี่ยวแนวคิดของปีศาจของแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s Demon)

หากผู้อ่านอ่านถึงตรงนี้อาจจะเกิดข้อสงสัยกับคำพูดด้านบนว่าเป็นไปได้อย่างไรกับการที่เราอาศัยแค่ข้อมูลแทนที่จะใช้พลังงาน ! นั้นซิครับ เอาจริงๆสำหรับตัวผู้เขียนก็รู้สึกว่า เห้ยยยย…จริงเหรอ

ผู้เขียนต้องข้อออกตัวก่อนว่าบทความนี้เกี่ยวข้องกับศาสตร์หลายอย่างซึ่งผูกโยงกันไว้ได้อย่างน่าสนใจและลงตัว อันได้แก่ อุณหพลศาสตร์ (Thermodynamics)/กลศาสตร์สถิติ (Statistical Mechanics)/ ทฤษฎีข้อมูล(Information Theory)

หากเราเริ่มพูดถึง 2 อันแรกคือ อุณหพลศาสตร์และกลศาสตร์สถิติ นั้นอาจคิดภาพเปรียบเทียบกับร่างกายเราก็ได้ รูปร่างที่ปรากฏภายนอกของเรานั้นเทียบได้กับอุณหพลศาสตร์ ส่วนการทำงานภายในนั้นเทียบได้กับกลศาสตร์สถิติ ดังนั้นภาพนอกเราจะแลดูสุขภาพดีหรือไม่นั้นส่งผลจากการทำงานของอวัยวะภายในโดยรวม ซึ่งเหมือนกันกับอุณหพลศาสตร์นั้นเป็นการศึกษาสมบัติของระบบในระดับมหภาค (Macroscopic) ส่วนกลศาสตร์สถิตินั้นสนใจพฤติกรรมของระบบในระดับจุลภาค (Microscopic) อันยังผลโดนตรงกับพฤติกรรมของระบบในระดับมหาภาค

อุณหพลศาสตร์อย่างย่อ (Thermodynamics in a nutshell)

ผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยกับสิ่งเหล่านี้อาจถามว่าแล้วเจ้าอุณหพลศาสตร์นั้นมันศึกษาเกี่ยวกับอะไร อุณหพลศาสตร์นั้นศึกษาเกี่ยวกับความร้อน (Heat) และอุณหภูมิ (Temperature) โดยสนใจความสัมพันธ์ของทั้ง 2 ปริมาณกับงาน (Work) และพลังงาน (Energy) ในรูปแบบต่างๆ พฤติกรรมของระบบระดับมหาภาคในอุณหพลศาสตร์โดนกำกับด้วยกฏพื้นฐาน 4 ข้อ ได้แก่

กฏข้อที่ 0 กล่าวว่า “ถ้าระบบ A และระบบ B อยู่ในสภาวะสมดุลอุณหพลศาสตร์ และ B และระบบ C อยู่ในสภาวะสมดุลอุณหพลศาสตร์ ดังนั้น A และระบบ C อยู่ในสภาวะสมดุลอุณหพลศาสตร์ด้วย” กฏข้อนี้เป็นบทนิยามของปริมาณที่เรียกว่า อุณหภูมิ เพื่อใช้บอกว่าระบบ 2 ระบบอยู่ในสมดุลอุณหพลศาสตร์เมื่อมีอุณหภูมิเท่ากัน

กฏข้อที่ 1 กล่าวว่า “การเปลี่ยนแปลงพลังงานภายในของระบบขึ้นกับสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย ไม่ขึ้นกับกระบวนการที่ระบบจะวิวัฒน์ไปจากสถานะเริ่มต้นไปยังสถานะสุดท้าย” กฏข้อที่นี้นิยามตัวแปรที่เรียกว่า พลังงานภายใน U ซึ่งมีความสัมพันธ์กับงานและความร้อนตามความสัมพันธ์

$\Delta U=Q+W.................(1)$

รูปที่ 2 ภาพตัวอย่างแสดงเส้นทาง 4 เส้นทางที่เป็นไปได้ระหว่างสถานะเริ่มต้น i และสถานะสุดท้าน f บน แผนภาพ P-V

พลังงานภายในของระบบคือผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของส่วนย่อยๆที่ประกอบขึ้นมาเป็นระบบ เพื่อให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจเราพิจารณาระบบที่ประกอบขึ้นมาจากก๊าซอุดมคติ (Ideal gas)

รูปที่ 3 แสดงภาพก๊าซในอุดมคติ http://look4chemistry.blogspot.com/2011/09/gas-real-gas.html

เราเห็นว่าแต่ละโมเลกุลของก๊าซนั้นมีแค่พลังงานจลน์และเราหาได้ว่าพลังงานจลน์เฉลี่ยของระบบคือ

$<KE>=\frac{3}{2}k_BT.................(2)$

โดยที่ k_Bคือค่าคงที่ของโบลทซ์มันน์ ดังนั้นพลังงานภายในของระบบแปรผันตรงกับอุณหภูมิของระบบตามความสัมพันธ์

$U=N<KE>=\frac{3}{2}Nk_BT.................(3)$

โดย N คือจำนวนโมเลกุลของก๊าซทั้งหมดในระบบ(ความสัมพันธ์ด้านบนนี้มีความน่าสนใจที่ว่าหากเราให้ความสนใจที่อุณหภูมิซึ่งเป็นปริมาณทางอุณหพลศาสตร์ของระบบโดยรวมอันมีผลโดยตรงจากพฤติกรรม(ความเร็ว)ของอนุภาคย่อยๆที่ประกอบขึ้นมาเป็นระบบ)

จากความสัมพันธ์จากสมการที่ (2) เราจะเห็นได้ว่าพลังงานภายในของระบบนั้นเปลี่ยนแปลงได้จากทั้งความร้อนที่ไหลเข้าหรือออกจากระบบ หรืองานที่ทำให้ระบบหรือระบบทำ หรือผสมทั้งสองอย่าง ตัวอย่างที่เห็นง่ายคือหากเราต้องการระบบในรูปที่ 3 มีการเปลี่ยนแปลงพลังงานภายในเพิ่มขึ้น เราทำได้ 2 วิธีคือ เราเพิ่มความร้อน Q เข้าไป หรือ เราทำงาน W โดยกวนมัน ทั้งสองวิธีนั้นส่งผลต่อความเร็วของโมเลกุลก๊าซในระบบ เมื่อเสร็จสิ้นกระบวนการเราอาจจะถามเพื่อนเราว่ารู้หรือไม่ว่าพลังงานภายในก๊าซที่เพิ่มขึ้นนั้นมาจากกระบวนการใด แน่นอนว่าเพื่อนเราไม่สามารถบอกได้เพราะทั้งสองวิธีทำให้พลังงายภายในระบบเพิ่มเหมือนกันไม่ขึ้นกับกระบวนการ(ดังอธิบายในรูปที่ 2)

กฏข้อที่ 2 กล่าวว่า “สำหรับระบบโดดเดี่ยวที่มีการเปลี่ยนแปลงผ่านกระบวนการแบบผันกลับเองไม่ได้ การเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีจะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ” ก่อนอื่นเรามาลองดูตัวอย่างของกระบวนการผันกลับเองไม่ได้ เช่น หากเรานำก้อนนำ้แข็งมาว่างไว้ ณ อุณหภูมิห้อง แน่นอนว่าเมื่อเวลาผ่านไปน้ำแข็งจะละลายกลายเป็นน้ำ ณ อุณหภูมิห้อง แต่นอนว่าน้ำที่ละลายจากน้ำแข็งไม่สามารถวันดีคืนดีกลับไปเป็นน้ำแข็งเองได้ตามธรรมชาติ(หากเราไม่นำไปใส่ช่องแข็ง) ผู้อ่านอาจจะถามว่าทำไมธรรมชาติถึงเป็นอย่างนี้ คำตอบก็เป็นไปตามกฏข้อที่ 2 เลยครับเพราะธรรมชาติเลือกวิวัฒน์ไปตามเส้นทางที่เอนโทรปีเพิ่มขึ้นเสมอ (น้ำทีอุณหภูมิห้องกลับไปเป็นน้ำแข็งเองไม่ได้เพราะกระบวนการนี้เอนโทรปีลดลง)

พูดมาตั้งนานเรายังไม่ได้นิยามเอนโทรปีกันเลยครับ ฮาาาาาาา Clausius(1865) ได้นิยามการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีในอุณหพลศาสตร์ (Thermodynamics entropy) คือ

$dS=\frac{dQ}{T}.................(4)$

เราขอละที่มาซึ่งผู้อ่านสามารถหาอ่านเพิ่มเติมได้ในหนังสือฟิสิกส์ปี 1 ทั่วไป เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนขึ้นเราพิจารณาระบบที่ประกอบไปด้วย 2 ระบบย่อยคือ บ่อความร้อนที่ 1 มีอุณหภูมิ T₁ และบ่อความร้อนที่ 2 มีอุณหภูมิ T₂ โดยที่ T₁ >T₂ เมื่อนำ 2 ระบบมาสัมผัสกันความร้อน Q จะมีการถ่ายเทจากแหล่งที่ 1 ไปยังแหล่งที่ 2 (เราสมมุติให้บ่อความร้อนทั้ง 2 นั้นสามารถให้หรือรับความร้อนได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ไม่กระทบกับอุณหภูมิของแหล่งทั้ง 2) เราอาจจะถามว่าแล้วทำไมความร้อนต้องไหลจากแหล่งที่มีอุณหภูมิสูงไปยังแหล่งที่มีอุณหภูมิต่ำเสมอตามธรรมชาติ

รูปที่ 4 ภาพแสดงการไหลของความร้อนจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิสูงไปยังแหล่งความร้อนที่มีอุณหภูมิต่ำ

เพื่อหาคำตอบของคำถามข้างต้น เราอาจเริ่มต้นจากการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีของระบบ สำหรับบ่อความร้อนที่ 1 ความร้อนนั้นไหลออกจากระบบ(การเปลี่ยนแปลงความร้อนติดลบ) การเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีคือ

$dS_1=-\frac{Q}{T_1}.................(5)$

ขณะที่การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของบ่อความร้อนที่ 2 คือ

$dS_2=+\frac{Q}{T_2}.................(6)$

การเปลี่ยนแปลงความร้อนเป็นบวกเพราะรับความร้อนเข้ามา เมื่อนำมารวมกันจะได้

$dS=dS_1+dS_2=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).................(7)$

เนื่องจาก T₁>T₂ ดังนั้น dS>0 ดังนั้นเราบอกได้ว่าเหตุที่ความร้อนเลือกที่จะไหลจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิสูงไปยังบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิตำ่เพราะว่าเป็นกระบวนการที่เอนโทรปีของระบบเพิ่มขึ้นนั้นเอง (หากความร้อนไหลกลับทิศจะทำให้เกิดการสลับลำดับของพจน์ในวงเล็บในสมการที่ 7 และแน่นอนว่า dS<0 ซึ่งขัดกับกฏข้อที่ 2 นั้นเอง) ข้อสังเกตุที่น่าสนใจคือเราจะเห็นได้ว่าเอนโทปีของบ่อที่ 1 นั้นลดลง ถามว่าขัดกับกฏข้อที่ 2 หรือไม่ ตอบคือไม่เพราะบางส่วนในระบบเอนโทรปีอาจลดลงได้แต่เมื่อคิดรวมทั้งระบบแล้วเอนโทรปีรวมนั้นต้องเพิ่มขึ้นเสมอ

หากเราเทียบความร้อนที่ถ่ายเทระหว่าง 2 แหล่งความร้อนเป็นกระแสน้ำตกที่ไหลจากที่สูงลงมาที่ต่ำ หากเรานำไปใบพัดไปว่าง ใบพัดหมุนและนำไปขับเคลื่อนเครื่องจักรกลได้

รูปที่ 5 ภาพจากอินเตอร์เน็ต แสดงให้เห็นหลักการหมดวงล้อไม้ด้วยกระแสน้ำที่ไหลจากที่สูงไปที่ต่ำ https://www.gettyimages.com/videos/watermill?sort=mostpopular&offlinecontent=include&phrase=watermill

ดังนั้นเราสร้างเครื่องจักรความร้อนที่นำความร้อนที่ไหลจากบ่อความร้อนมีอุณหภูมิสูงไปยังบ่อความร้อนมีอุณหภูมิต่ำไปทำให้เกิดงาน (Useful work) ดังรูปที่ 6(ทางซ้าย)

รูปที่ 6 (ทางซ้าย)แผนภาพแสดงเครื่องจักรความร้อนที่แปลงความร้อนบางส่วนไปเป็นงาน (ทางขวา) แผนภาพเครื่องจักรความร้อนที่ไม่มีอยู่จริงเพราะว่าไม่มีเครื่องจักรใดที่สามารถแปลงความร้อนทั้งหมดที่รับเข้ามาไปเป็นงานได้ทั้งหมด 100% [4]

รูปที่ 6 (ทางขวา) แสดงเครื่องจักรที่สามารถแปลงความร้อนทั้งหมดที่รับเข้าไปเป็นงานได้ 100 % ซึ่งไม่มีอยู่จริง (อันนี้เป็นอีกนิยามของกฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์ รู้จักกันดีในชื่อ Kelvin–Planck statement of the second law of thermodynamics) ผู้อ่านอาจตั้งคำถามว่า หากเครื่องจักรที่แปลงความร้อนทั้งหมดไปเป็นงานได้ 100 % นั้นขัดกับกฏข้อที่ 2 แสดงว่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของระบบต้องลดลงด้วย ครับแน่นอนครับ หากเราพิจารณาระบบทั้งหมดประกอบไปด้วยบ่อความร้อนอุณหภูมิสูง เครื่องจักร (Engine) และอุปกรณ์ต่อด้านนอก (สิ่งแวดล้อม) สำหรับเครื่องจักรมีการทำงานเป็นวัฏจักร (Cycle process) ดังนั้นเมื่อครบวัฏจักรเอนโทรปีไม่เปลี่ยน สำหรับอุปกรณ์ภายนอกนั้น เช่น เครื่องยกของหนักเอนโทรปีไม่เปลี่ยนเพราะไม่มีการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างภายใน(การยกส่งผลแค่ภายนอก) ตอนนี้เหลือแค่บ่อความร้อนเท่านั้นที่เอนโทรปีเปลี่ยนแบบลดลงเพราะความร้อนไหลออกจากบ่อ หากเราทำการรวมผลทั้งหมดข้างต้นที่กล่าวมาเราพบว่า

$dS=dS_{reservoir}+dS_{engine}+dS_{surrounding}=-\frac{Q}{T_h}+0+0=-\frac{Q}{T_h}.................(8)$

สำหรับเครื่องจักรความร้อนที่แปลงความร้อนไปเป็นงานได้ 100% นั้นการเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีลดลง ดังนั้นเป็นไปไม่ได้หรือไม่มีเครื่องจักรนี้อยู่จริง

ในกรณีที่เราต้องการให้ความร้อนไหลย้อนทิศจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิต่ำขึ้นไปยังบ่อความรู้ที่มีอุณหภูมิสูงนั้นเราต้องทำงาน(ออกแรง) เหมือนน้ำจะไหลจากพื้นต่ำขึ้นไปที่สูงได้ต้องมีเครื่องปั้มน้ำ ในกรณีความร้อนเราก็มีเครื่องในลักษณะนี้ เรียกเครื่องทำความเย็น (Refrigerator) ดังรูปที่ 7 (ด้านซ้าย)

รูปที่ 7 (ทางซ้าย)แผนภาพแสดงเครื่องทำความเย็นที่ดึงความร้อนออกจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิต่ำไปใส่ยังบ่อความร้อนที่มีอุณหภมิสูง (ทางขวา) แผนภาพเครื่องทำความเย็นที่ไม่มีอยู่จริงเพราะว่าไม่มีเครื่องจักรใดที่สามารถดึงความร้อนจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิต่ำไปใส่ยังบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิสูงได้เองโดยไม่ต้องใส่งาน [4]

รูปที่ 7 (ทางขวา) แสดงแผนภาพเครื่องทำความเย็นที่ไม่มีอยู่จริง เพราะไม่มีเครื่องจักรไหนที่สามารถดึงความร้อนออกจากบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิต่ำไปยังบ่อบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิสูงกว่าได้เองโดยไม่ต้องอาศัยงานภายนอก (อันนี้เป็นอีกนิยามของกฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์ รู้จักกันดีในชื่อ Clausius statement of the second law of thermodynamics) และแน่นอนว่ากระบวนการนี้การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีติดลบ(ซึ่งอธิบายไปแล้วในสถานะการณ์รูปที่ 4)

กฏข้อที่ 3 กล่าวว่า “ค่าเอนโทรปีของระบบอุณหพลศาสตร์ที่ศูนย์องศาสมบูรณ์ T=0 K มีค่าเป็นศูนย์” ดังสมการ

$lim_{T\rightarrow 0}S(T)=0.................(9)$

หรือพูดอีกอย่างได้ว่า “ไม่มีการทำจำนวนครั้งที่จำกัดของกระบวนการอุณหพลศาสตร์ใดๆที่จะทำให้อุณหภูมิของประบบเป็นศูนย์องศาสมบูรณ์” นำเสนอโดย Nernst ในปี 1912 ดังรูปที่ 8

รูปที่ 8 (ทางขวา)แสดงกระบวนการ isentropic ที่ระบบจะเข้าไปหาสภาวะศูนย์องศาสมบูรณ์ด้วยจำนวนขั้นตอนที่เป็นอนันต์โดยปรับพารามิเตอร์ X (ทางซ้าย)แสดงกระบวนการ isentropic ที่ระบบจะเข้าไปหาสภาวะศูนย์องศาสมบูรณ์ด้วยจำนวนขั้นตอนที่จำกัดครั้งหากค่าเอนโทรปีที่ศูนย์องศาสมบูรณ์มีค่าต่างกัน แต่จากกฏข้อที่ 3 เอนโทรปีมีค่าเหมือนกันที่ศูนย์องศาสมบูรณ์คือ 0 ดังนั้นกระบวนนี้เกิดขึ้นไม่ได้ (https://en.wikipedia.org/wiki/Third_law_of_thermodynamics)

กลศาสตร์สถิติอย่างย่อ (Statistical mechanics in a nutshell)

ตอนนี้เราหันมาลองดูพฤติกรรมของระบบในระดับจุลภาคกันบ้าง ในกลศาสตร์สถิติเราก็มีเอนโทรปีตัวแรกเรียกว่า โบลทซ์มันน์เอนโทรปี (Boltzmann’s entropy)

$S=k_B\ln\Omega.................(10)$

โดยที่ Ω คือสถานะย่อยทั้งหมดที่เป็นไปได้

ตัวอย่าง 1 การวางลูกบอลในกล่องซึ่งแบ่งออกเป็น 4 ช่องย่อยๆ เราพบว่ามีทั้งหมด 4 วิธีในการวางลูกบอลดังรูปที่ 9

รูปที่ 9 แสดงการวางลูกบอลในกล่องซึ่งแบ่งออกเป็น 4 ช่อง ซึ่งมีทั้งหมด 4 วิธี

ดังนั้น Ω=4 ดังนั้นค่าเอนโทรปีจะได้เท่ากับ S≈1.38 (โดยล่ะค่า k_B)

ตัวอย่าง 2 เราเพิ่มลูกบอลเป็น 2 ลูกที่มีความแตกต่างกัน เราพบว่ามีทั้งหมด 12 วิธีในการวางลูกบอลคนล่ะช่องดังรูปที่ 10

รูปที่ 10 แสดงจำนวนวิธีในการวางลูกบอล 2 ลูกที่แตกต่างกันในกล่อง 4 ช่อง ได้ทั้งหมด 12 วิธี

ดังนั้น Ω=12 ดังนั้นค่าเอนโทรปีจะได้เท่ากับ S≈2.48 (โดยล่ะค่า k_B)

คำถามตอนนี้คือ ค่าเอนโทรปีที่เราคำนวณได้มานั้นบอกอะไรเรา เพื่อตอบคำถามนี้เราอาจจะลองเล่นเกมส์ทายใจกันง่ายๆ โดยให้เพื่อเราวางลูกบอลลงไปในช่องแล้วปิดฝากล่องแล้วถามเราว่าบอลอยู่ในช่องไหน ทั้งสองตัวอย่างด้านบนนั้น คำตอบที่เรามีในใจคือ “ไม่รู้” แต่ความไม่รู้นั้นไม่เท่ากันระหว่างตัวอย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2 เพราะในตัวอย่างที่ 1 นั้นคือไม่รู้[1]ใน 4 แบบที่เป็นได้ แต่ในตัวอย่างที่ 2 นั้นคือไม่รู้[2]ใน 12 แบบ ดังนั้น “ไม่รู้[2]>ไม่รู้[1]” หรือ “ไม่รู้[2]โตกว่าไม่รู้[1]”

คำว่า “ไม่รู้” ในที่นี้คือการเข้าไม่ถึง (inaccessible) ของผลที่จะออกนั้นเอง ดังนั้นจากตัวอย่างทั้ง 2 ค่าเอนโทรปีบอกถึงการเข้าไม่ถึงของสถานะย่อยๆของการเรียงตัวของลูกบอลในกล่อง ตัวอย่างที่ 2 นั้นเอนโทรปีโตกว่าตัวอย่างที่ 1 เพราะมี 12 รูปแบบที่จะต้องเดา ขณะที่อีกอันมีแค่ 4 แบบที่จะต้องเดา

การตอบคำถามเพื่อนเราสำหรับตำแหน่งของลูกบอลในกล่องนั้นเราต้อง “เดา” ล้วนๆ เราไม่มีองค์ความรู้ (Knowledge) อะไรเกี่ยวกับการที่จะทำนายผลที่จะออกเลย!

หากตอนนี้เราพอรู้ถึงโอกาสที่จะเกิดในแต่ล่ะผลลัพธ์ของสถานะย่อยหรือความน่าจะเป็นของแต่ล่ะสถานะย่อย p_iเราจะมีเอนโทรปีตัวใหม่เรียกว่า กิบส์เอนโทรปี (Gibbs entropy)

$S=-k_B\sum_{i=1}^\Omega p_i\ln p_i.................(11)$

สำหรับกรณีที่การกระจายตัวของความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอ p_i=1/Ω เราจะได้โบลทซ์มันน์เอนโทรปีกลับมา หรือนั้นหมายความว่าเราไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับสถานะย่อยๆ (ต้องเดาล้วนๆ)

ตอนนี้เราย้อนกลับไปยังต้วอย่างที่ 1 หากทุกๅสถานะย่อยว่ามีการกระจายตัวของความน่าจะเป็นเท่ากับ p_i=1/4 โดย i=1,2,3,4 ดังนั้นกิบส์เอนโทรปีเท่ากับ

$S= \frac{1}{4}\ln 4+\frac{1}{4}\ln 4+\frac{1}{4}\ln 4+\frac{1}{4}\ln 4=1.38.................(11)$

ซึ่งมีค่าเท่ากับโบลทซ์มันน์เอนโทรปีก่อนหน้านี้ นั้นหมายความว่าการกระจายตัวของความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอนั้นไม่ได้ช่วยอะไรเราในการเดาให้ดีขึ้นหรือเราไม่มีองค์ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับสถานะย่อยๆเลย

หากตอนนี้เราเปลี่ยนการกระจายตัวของความน่าจะเป็นให้เป็น (p₁=1/2, p₂=1/4, p₃=1/4, p₄=0) กิบส์เอนโทรปีเท่ากับ

$S= \frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{8}\ln 8+\frac{1}{8}\ln 8+0\ln 0=0.86.................(12)$

โดนที่ 0ln0=1 เราจะเห็นว่าค่าเอนโทรปีนั้นลดลง! หรือเราพูดได้ว่าเราเดาได้ดีขึ้นเพราะว่าเรารู้ว่าโอกาสที่ลูกบอลนั้นจะอยู่ในช่องที่ 1 ย่อยนั้นมากสุด ขณะที่ช่องที่ 4 นั้นไม่มีเลย ดังนั้นการเข้าไม่ถึงผลลัพธ์ของการทายก็น้อยลงเป็นผลให้เอนโทรปีนั้นลดลงตามด้วยเช่นกัน

คำถามของผู้อ่านตอนนี้คือแล้วเจ้าเอนโทรปีในกลศาสตร์สถิตินี้เชื่อมโยงกับอุณหพลศาสตร์ก่อนหน้าหรือไม่อย่างไร เพื่อให้เห็นภาพดังกล่าวเราพิจารณาระบบกล่อง 2 กล่องที่บรรจุก๊าซในอุดมคติไว้ดังรูปที่ 11

รูปที่ 11 แสดงกล่องก๊าซในอุดมคติ 2 กล่องที่มีตัวแปร (E,V,N) ต่างกัน จากนั้นนำมาแตะกัน

ในตอนแรกล่อง 2 กล่องว่างแยกกัน ตอนนี้ตัวแปรที่เรามีของแต่ล่ะกล่องคือ E(พลังงาน) N(จำนวนอนุภาคในกล่อง) และ V(ปริมาตร) จำนวนสถานะย่อยของแต่ละกล่องนั้นขึ้นกับพลังงาน(จำนวนอนุภาคและปริมาตรด้วยแต่เนื่องจาก 2 ปริมาณนี้เราจะให้เป็นค่าคงที่) ซึ่งเราจะมี

Ω1(E₁) คือ จำนวนสถานะย่อยทั้งหมดของอนุภาคในกล่องที่ 1

Ω₂(E₂) คือ จำนวนสถานะย่อยทั้งหมดของอนุภาคในกล่องที่ 2

โดยพลังงานรวมของระบบคือ E=E₁+E₂จากนั้นเรานำกล่องทั้ง 2 มาแตะกันและอนุญาติให้เฉพาะพลังงานเท่านั้นที่ถ่ายเทหากัน เราพบว่าสำหรับค่าพลังาน E₁ใดๆจำนวนสถานะย่อยทั้งหมดของอนุภาคทั้ง 2 กล่องเป็น Ω₁(E₁)Ω₂(E₂) ตอนนี้เราสนใจปริมาณที่เป็นผลบวกของปริมาณข้างต้น(สะดวกว่าการคูณ) ดังนั้นเราทำการใส่ ln เข้าไปจะได้

$\ln(\Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2))=\ln(\Omega_1(E_1)\Omega_2(E-E_1))=\ln\Omega_1(E_1)+\ln\Omega_2(E-E_1).....(13)$

ทั้งนี้เราใช้เงื่อนไขพลังงานรวมเพื่อลดจำนวนตัวแปรจาก 2 ตัว ได้แก่ E₁และ E₂ให้เหลือแค่ 1 ตัวคือ E₁ ตอนนี้เราสนใจถามว่าจำนวนสถานะย่อยของระบบจะมีค่ามากสุดเมื่อ E₁มีค่าเป็นเท่าไร ดังนั้นเราสามารถหาได้จากเงื่อนไขอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ (13) เท่าจับเท่ากับ 0

$\frac{\partial\ln(\Omega_1(E_1)\Omega_2(E-E_1))}{\partial E_1}=0.................(14)$

อันนำไปสู่เงื่อนไข (ขอละขั้นตอนแต่ไม่ยาก)

$\frac{\partial\ln\Omega_1(E_1)}{\partial E_1}=\frac{\partial\ln\Omega_2(E_2)}{\partial E_2}.................(15)$

จากนั้นเราคูณ k_B เข้าไปตลอดสมการ เราเขียนสมการ (15) ได้ใหม่เป็น

$\frac{\partial S_1}{\partial E_1}=\frac{\partial S_2}{\partial E_2}.................(16)$

ซึ่งจากนิยามของอุณหภูมิในเชิงกลศาสตร์สถิติ สมการ (16) ให้ความสัมพันธ์ 1/T₁=1/T₂ หรือ T₁=T₂ซึ่งคือเงื่อนไขสมดุลทางอุณหพลศาสตร์นั้นเอง แสดงว่าสถานะย่อยของระบบทั้งหมดหรือเอนโทรปีนั้นจะมีค่ามากสุดเมื่อระบบเข้าสู่สมดุลอุณหพลศาสตร์นั้นเอง ซึ่งก็คือกฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์

$S_{12}> S_1+S_2.................(16)$

ทฤษฏีข้อมูล (Information theory in a nutshell)

ในปี ค.ศ. 1948 Claude Shannon ได้เสนอเอนโทรปีของข้อมูลในเปเปอร์ “A mathematical theory of communication” ซึ่งหน้าเป็นอย่างสมการ

$S=-\sum_{x\in X}p(x)\log_2p(x).................(17)$

โดย X คือเซตของตัวแปรสุ่ม (Random variables) ส่วน x เป็นสมาชิกในเซตของตัวแปรสุ่มนั้น เราสังเกตุได้ว่าหน้าตาของเอนโทรปีข้อมูลหรือแชนนอลเอนโทรปีนี้เหมือนกับกิบส์เอนโทรปีเลยก็ว่าได้ หน่วยของเอนโทรปีนั้นเป็น “บิต” และเหตุผลของการเลือกใช้ log ฐาน 2 เพราะว่าตอนนี้เราทำงานกับสิ่งที่มี 2 สถานะที่แตกต่างกัน ซึ่งคือ 0 และ 1 นั้นเอง เพื่อให้เห็นภาพตรงนี้เราขอย้อนกลับไปยังตัวอย่างแรกสำหรับการวางลูกบอลในกล่อง หากเราทำการคำนวณหาแชนนอลเอนโทรปีเราจะได้ S=2 บิต สำหรับการกระจายตัวของความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอ (1/4,1/4,1/4,1/4) เจ้าเลข 2 นี้มันบอกอะไรเรา ? คำตอบคือจำนวนบิตที่เราจะใช้แสดงแต่ล่ะสถานะย่อยนั้น สำหรับกรณีนี้เรามี 4 สถานะย่อย ดังนั้นเราสามารถใช้ 00, 01, 10, และ 11 แทนได้ดังรูปที่ 12

รูปที่ 12 แสดงการใช้บิต 2 บิตในการบอกสถานะย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ในทำนองเดี่ยวกันสำหรับตัวอย่างที่ 2 ที่เราวางลูกบอล 2 ลูกเราต้องการ 4 บิต (ซึ่งได้จากการคำนวณแชนนอลเอนโทรปีโดยตรง ผู้อ่านอาจจะลองคำนวณด้วยตัวเองตรงนี้ได้) ดังนั้นเราแสดงสถานะย่อยต่างๆได้ตามรูปที่ 13

รูปที่ 13 แสดงสถานะย่อยของการวางลูกบอล 2 ลูกในกล่องที่แบ่งออกเป็น 4 ช่องโดยบิต 4 บิต

ผู้อ่านอาจจะเกิดคำถามนะตรงนี้ว่าแล้วเจ้าแชนนอลเอนโทรปีนี้มันบอกอะไรเราเชิงกายภาพ หากเรากลับดูความหมายของกิบส์เอนโทรปีที่เราตีความว่าคือการเข้าไม่ถึง (inaccessible) ของผลลัพย์หรือสถานะย่อยๆของระบบ เจ้าแชนนอลเอนโทรปีนั้นก็ให้ความหมายในทำนองเดียวกันหรือยิ่งเข้าถึงได้ยากยิ่งมีข้อมูลมากนั้นเอง หรือเราอาจจะบอกว่าเจ้าแชนนอลเอนโทรปีวัดความประหลาดใจ (surprisal) ในผลลัพย์หรือความไม่แน่นอน (uncertainty) ของผลลัพธ์ก็ได้ครับ แน่ครับหากการกระจายตัวของความน่าจะเป็นไม่สม่ำเสมอ เช่น ในตัวอย่างที่ 1 เป็น (p₁=1/2, p₂=1/4, p₃=1/4, p₄=0) แสดงว่าเรามีองค์ความรู้บางอย่างเกี่ยวกับระบบล่ะ เดาได้ดีมากขึ้น แปลกใจน้อยลงกับผลลัพธ์ที่จะออก ซึ่งสอดคล้องกับค่าเอนโทรปีที่ลดลงมาเป็น 1.5 บิต(จากเก่า 2 บิต)

การทดลองทางความคิดที่ทำให้กฏข้อที่ 2 เกิดปัญหา ปีศาจของแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s Demon)

ในปื 1867 แมกซ์เวลล์(คนที่ทุกคนก็รู้ว่าใคร) ได้เสนอการทดลองทางความคิดที่ว่ากฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์ไม่เป็นจริงได้ โดยเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อ ปีศาจของแมกซ์เวลล์ สถานะการณ์ของการทดลองทางแนวความคิดเป็นดังรูปที่ 14

รูปที่ 14 แสดงการทำงานของปีศาจในการคัดอนุภาคที่มีความเร็วสูงและอนุภาคที่มีความเร็วต่ำที่ผสมกันในตอนเริ่มต้นให้ไปอยู่คนล่ะฝั่ง https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_demon

เริ่มต้นเรามีกล่อง 2 กล่องต่อกันดังรูปโดยมีอนุภาค N ตัวที่มีการกระจายตัวความเร็วแบบแมกซ์เวลล์ดังรูปที่ 15 ผสมกันทั้ง 2 ข้างซึ่งระบบจะอยู่ในภาวะสมดุลความร้อน

รูปที่ 15 แสดงการกระจายตัวของความเร็วของโมเลกุลก๊าซ ณ อุณหภูมิ T https://www.khanacademy.org/science/physics/thermodynamics/temp-kinetic-theory-ideal-gas-law/a/what-is-the-maxwell-boltzmann-distribution

ดังนั้นพลังงานเฉลี่ยของโมเลกุลก๊าซอยู่ที่ 3/2k_BT ตรงกลางมีช่องที่สามารถเปิดได้ซึ่งควบคุมโดยปีศาจ(ทั้งนี้ประตูลื่น จึงไม่เกิดงานในการเลื่อน) เมื่อปีศาจเห็นว่าโมเลกุลที่มีความเร็วสูง(สีแดง) (หรือพลังงาน mv² /2 >> 3/2k_BT) ในกล่องทางซ้ายวิ่งเข้ามาใกล้ช่องตรงกลางก็ทำการเปิดเพื่อให้โมเลกุลข้ามไปอยู่ทางกล่องขวา และทำเหมือนกับสำหรับโมเลกุลที่มีความเร็วต่ำ(สีน้ำเงิน)(หรือพลังงาน mv² /2 << 3/2k_BT)ในกล่องทางขวาให้ข้ามไปอยู่กล่องทางซ้าย ทำอย่างนี้ไปเรื่อยๆในสุดการกระทำของปีศาจจะสามารถแยกโมเลกุลที่มีความเร็วสูงและต่ำไปอยู่คนล่ะช่องได้ดังรูปที่ 14 (ขวามือ) การกระทำของปีศาจทำให้เกิดปัญหาเพราะว่า เริ่มต้นเรามีระบบที่อยู่สมดุลความร้อน แล้ววันดีคืนดีก็ระบบก็ผันตัวไปไม่อยู่ในสมดุลความร้อนเอง(จริงๆมีปีศาจอยู่เบื้องหลัง) ซึ่งแลดูจะผิดกฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์อย่างเห็นได้ชัดเพราะกระบวนการนี้การเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีลดลง หรือในแง่ของกลศาสตร์สถิติเราก็พบว่าเริ่มต้นระบบมีความไม่เป็นระเบียบสูงสุดเพราะโมเลกุลผสมกันหมด(สมดุลความร้อน) จากนั้นระบบพัฒนาไปในทิศทางที่มีความเป็นระเบียบมากขึ้นเพราะแบ่งพวกโมเลกุลกล่องซ้ายและกล่องขวา(ดูตัวอย่างในรูปที่ 11)

หากผู้อ่านยังไม่เห็นภาพว่าการกระทำนั้นมันประหลาดอย่างไรให้นึกถึงห้องที่บ้าน เริ่มต้นอุณหภูมิในห้องกับภายนอกนั้นเท่ากัน การที่เราจะทำให้ห้องเย็นนั้นต้องเปิดแอร์(ทำงานเพื่อปั้มเอาความร้อนออกจากห้องไปใส่ข้างนอก) แต่การกระทำของปีศาจนั้นเหมือนอยู่ดีๆห้องเราก็เย็นเอง !! โดยไม่ต้องทำงานอะไรเลย

คำถามคือทั้งหมดทั้งมวลนี้มันขัดกับกฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์จริงมั้ย หรือจริงๆเราพลาดอะไรไป ??

หากเราย้อนกลับไปดูระบบจริง เราจะเห็นว่ามีกล่องก๊าซและปีศาจ แต่สิ่งที่เราพิจารณาคือผลที่เกิดขึ้นสำหรับกล่องก๊าซอย่างเดียว ดังนั้นมันมีความเป็นไปได้ว่า คำตอบนั้นอาจจะอยู่เจ้าปีศาจนั้นล่ะ !

ในปี 1961 Landauer ได้นำเสนอแนวคิด (จริงมีนักวิทยศาสตร์หลายท่านศึกษาปัญหานี้ไว้ก่อนและได้ทิ้งแนวทางการศึกษาไว้) การที่ปีศาจสังเกตุว่าโมเลกุลไหนเร็วช้า อยู่กล่องซ้ายหรือกล่องขวา ปิศาจต้องมีการบันทึกข้อมูลในหน่วยความจำ แต่หน่วยความจำอาจจะมีพื้นที่จำกัด ดังนั้นต้องมีการลบข้อมูลเก่าออกและบันทึกข้อมูลใหม่ เจ้ากระบวนการลบข้อมูลนี้เองเป็นคำตอบของปัญหานี้ !! อย่างไรไปดูกัน

Landauer ได้เสนอกระบวนการบันทึกและรีเซ็ตข้อมูลดังต่อไปนี้ พิจารณาว่าตอนนี้ในกล่องมี 1 โมเลกุล(เพื่อความง่าย)

รูปที่ 16 แสดงกระบวนการบันทึกข้อมูลและรีเซ็ตข้อมูล https://plato.stanford.edu/entries/information-entropy/

ขั้นตอนมีดังต่อไปนี้ เริ่มต้นอนุภาคก็วิ่งไปทั่วกล่อง

ขั้นที่ 1 ทำการเอาแผ่นกันไปวางตรงกลางเพื่อดูว่าอนุภาคอยู่ฝั่งไหนของกล่อง จากนั้นทำการบันทึกข้อมูล

หากเห็นอนุภาคทีมีความเร็วสูงอยู่ทางขวาให้เป็นเก็บข้อมูลเป็น 0

หากเห็นอนุภาคทีมีความเร็วสูงอยู่ทางซ้ายให้เป็นเก็บข้อมูลเป็น 1

ขั้นที่ 2 นำเอนแผ่นกันออก อนุภาคจะวิ่งไปทั่วอีกครั้ง

ขั้นที่ 3 ทำการใส่ฝาสูบเข้าไปทางขวา ซึ่งตอนนี้กล่องก๊าซถูกนำไปว่างบนแหล่งความร้อนที่มีอุณหภูมิ T

ขั้นที่ 4 ทำการดันฝาลูกสูบจนไปสุดที่ครึ่งกล่อง ระหว่างดันนั้นโมเลกุลก็จะตกกระทบกับฝาลูกสูบ เราสามารถทำการคำนวณงานที่ทำให้ระบบได้เท่ากับ

$W=-\int_V^{V/2}PdV.................(18)$

เนื่องจากเราพิจารณาก๊าซอุดมคติซึ่งมีสมการ PV=Nk_BT แต่ N=1 ดังนั้น P=k_BT/V แทนกลับลงไปในสมการ (18) เราจะได้งานเท่ากับ

$W=-k_BT\int_V^{V/2}\frac{dV}{V}=k_BT\ln 2.................(19)$

ขั้นตอนที่ 5 คือกลับไปเริ่มขั้นที่ 1 ใหม่

ดังนั้นขั้นที่ 1 คือขั้นบันทึกข้อมูล ส่วนขั้นที่ 2-4 นั้นเป็นขั้นตอนการรีเซ็ตข้อมูลเพื่อเตรียมบันทึกครั้งใหม่ กระบวนการทั้งหมดนั้นเป็นกระบวนการวัฏจักร ดังนั้นพลังงานภายในของระบบไม่เปลี่ยน ΔU=0 ดังนั้นจากกฏข้อที่ 1 ของอุณหพลศาสตร์

$\Delta U=0=Q+W \Rightarrow Q=-W=-k_BT\ln 2.................(20)$

เราพบว่าเครื่องหมายของความร้อนติดลบ แสดงว่ากระบวนการบันทึกและรีเซ็ตข้อมูลนั้นทำให้เกิดความร้อนไหลออก(ปีศาจหัวร้อน !) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของปีศาจเท่ากับ

$\Delta S_{Demon}=\frac{Q}{T}=-k_B\ln 2.................(21)$

ซึ่งลดลง !!

อย่างไรก็ตามระบบเราประกอบไปด้วยกล่องก๊าซและปีศาจ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีรวมคือ

$\Delta S_{Total}=\Delta S_{Demon}+\Delta S_{box}\geq 0.................(22)$

แทน (21) ลงไปใน (22) เราจะได้

$\Delta S_{box}\geq k_B\ln 2.................(23)$

นั้งหมายความว่า กระบวนการบันทึกของ 1 โมเลกุลในกล่องและรีเซ็ตข้อมูลของปีศาจนั้นทำให้เอนโทรปีของกล่องก๊าซเพิ่มขึ้นอย่างน้อย ซึ่งนั้นหมายความว่ากฏข้อที่ 2 ของอุณหพลศาสตร์นั้นปลอดภัย !!

ใช้ข้อมูลในการขับเครื่องจักร !! (Information for operating engine)

ในรูที่ 6 เราได้แสดงให้เห็นว่าหากเรามีบ่อความร้อนที่อุณหภูมิแตกต่างกันเราสามารถนำความความร้อน(พลังงานที่ถูกส่งถ่าย)ไปทำให้เกิดประโยชน์ เช่น ในการขับเครื่องจักร หรือ อื่นๆ

ในหัวข้อก่อนหน้านี้เรานำแสดงให้เห็นว่า กฏข้อที่ 2 ยังเป็นจริงสำหรับภายใต้การขัดแยกโมเกลุลก๊าซของปีศาจซึ่งกุญแจสำคัญคือ “ข้อมูล” ที่ถูกบันทึกและรีเซ็ตตลอดกระบวนการ

ตอนนี้เราข้อกลับไปนำเอาคำพูดของ Jim AI-Khalili ในตอนต้น ที่ว่า “….หากว่าเราสามารถสร้างเครื่องจักรปีศาจของแมกซ์เวลล์ที่ต้มกาแฟหรือแม้แต่ป้อนพลังงานให้เมืองโดยอาศัยแค่ข้อมูล….”

รูปที่ 17 แสดงความเป็นได้ที่จะสกัดงานเพื่อขับเคลื่อนรถจากข้อมูล[3]

เพื่อให้เห็นภาพง่ายๆเราพิจารณาสถานะการแสดงในรูปที่ 17 มีรถซึ่งต่ออยู่กับบ่อความร้อนที่มีอุณหภูมิ T และสายริบบอนอันประกอบขึ้นมาจากกล่องของก๊าซโมเลกุลเดี่ยว หากเรารู้ว่าโมเลกุลอยู่ทางซ้ายหรือทางขวา (o หรือ 1 บิต) เราสามารถสกัดงานเพื่อใช้ในการขับเคลื่อนรถโดยการนำฝาลูกสูบไปวางตรงกลาง หากโมเลกุลอยู่ทางซ้าย ฝาลูกสูบจะถูกผลักให้ขยับไปขวา หรือในทางกลับกัน เราพบว่างานที่โมเลกุลทำให้ฝาลูกสูบคือ k_BTln2 (ดูสมการที่ (19) แต่เครื่องหมายสลับ) ดังนั้นหากเรามีทั้งหมด N กล่องในสายริบบอนงานจะเป็น Nk_BTln2 อันจะถูกนำไปขับเคลื่อนรถได้ !

กล่องก๊าซแต่ล่ะอันหลังจากโดยสกัดงานออกไปแล้ว โมเลกุลก๊าซจะเคลื่อนที่ได้เต็มกล่องอันหมายถึงข้อมูลนั้นหายไป อันที่จริงโดนเปลี่ยนไปเป็นงานเพื่อใช้ขับเคลื่อนรถ ตรงประเด็นนี้น่าสนใจเพราะปกติในฟิสิกส์งานและพลังงานนั้นสัมพันธ์กัน แต่ตอนนี้มีความสัมพันธ์ระหว่างงานและข้อมูล

ดังนั้นเราบอกได้ว่าข้อมูลเป็นปริมาณทางกายภาพที่มีอยู่จริงและนำไปใช้งานได้(แทนพลังงานดังตัวอย่างด้านบน) ไม่ได้เป็นนามธรรมอย่างที่เราอาจจะเข้าใจกัน !

เรียบเรียง

สิขรินทร์ อยู่คง (QuTE Co-Founder)

วิทยาลัยเพื่อการค้นคว้าระดับรากฐาน (Institute for Fundamental Study: IF)

มหาวิทยาลัยนเรศวร

อ้างอิง

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_demon

[2] https://plato.stanford.edu/entries/information-entropy/

[3] G. Benenti, G. Casati and G. Strini, Principle of quantum computation and information Vol 1, World Scientific, 2007

[4] Physics for Scientists Engineers Modern Physics 9th Ed Serway and Jewett

ข้อมูล, ปีศาจแมกซ์เวลล์, พลังงาน, เอนโทรปี